从零开始在一对一无限注德州扑克游戏上进行强化学习
选自willtipton
机器之心编译
参与：Jane W、蒋思源
最近，强化学习（RL）的成功（如 AlphaGo）取得了大众的高度关注，但其基本思路相当简单。下面我们在一对一无限注德州扑克游戏上进行强化学习。为了尽可能清楚地展示，我们将从零开始开发一个解决方案，而不需要预设的机器学习框架（如 Tensorflow）。让我们用 Python3 Jupyter notebook 开始吧！
问题设置
规则提醒：该游戏是一个 2 人无限注的德扑游戏，其中：
1. 游戏开始，两名选手均有 S 筹码和随机发放的 2 张底牌。
2. BB（大盲注）玩家下 1.0 个盲注，SB（小盲注）玩家下 0.5 个盲注。
3. 小盲注玩家可以全押（all-in）或弃牌（fold）。
4. 如果小盲注玩家全押，那么大盲注玩家可以跟注（call）或弃牌。
我们可以将规则可视化为下图所示的决策树。游戏开始于 E，这时 SB 可以全押或弃牌。如果他弃牌，我们转移到状态 A，游戏结束。如果他全押，我们转移到状态 D，BB 必须在跟注和弃牌之间作出决定。如果一个玩家弃牌，另一个玩家就会得到盲注，如果两个玩家全押，则发放 5 张公共牌，并且金额按照扑克的正常规则进行分配。
这个游戏有著名的的解决方案（http://www.dandbpoker.com/preflop-charts），也有其它的方法，如虚拟对局（https://www.youtube.com/watch?v=MVMfDswjJE0）和直接优化（http://willtipton.com/coding/poker/2016/03/06/shove-fold-with-tensorflow.html）。这里，我们将使用强化学习估算解决方案。
这里有种不重复的 2 张手牌组合数。因此，我们可以给所有牌排序，并从 0 到 1325 编号。只要前后编号一致，具体的顺序就不重要了。以下函数隐含地定义了这样一个排序，并创建了从牌的编号到相关决策信息的映射：牌的排序（牌面顺序/rank）和同花性（牌面花色/suitedness）。
请注意，输出元组中的第一个元素（代码中的 r2）始终排序靠前，如果有的话。例如，手牌编号 57 恰好是 62，我们有：
当玩家全押时，他们平均获得的底池（「期望利益」）根据游戏规则决定。文件 pf_eqs.dat（http://willtipton.com/static/pf_eqs.dat）包含一个 numpy 矩阵 pfeqs（http://docs.scipy.org/doc/numpy-1.10.0/reference/generated/numpy.savetxt.html），其中 pfeqs 指当对手持有手牌 j 时持有手牌 i 的期望利益。
当然，有时候两人起始手牌有一张牌是相同的，在这种情况下，它们的期望不能同时计算，这时取得他们的期望利益也不合适。文件 pf_confl.dat（http://willtipton.com/static/pf_confl.dat）包含另一个 1326×1326 矩阵，其中每个元素为 0 或 1。A 0 表示两位玩家的起始手牌不一样，a 1 表示起始手牌一样。
例如，由于手牌 56 是 62，57 是 62，58 是 62，于是我们有：
为什么结果不正好是 0.5 呢？
强化学习
下面进入 RL 教程。RL 问题有三个重要组成部分：状态（state）、动作（action）、奖励（reward）。它们合在一起如下：
1. 我们处于某「状态」（即我们观察到的世界的状态）。
2. 我们使用这个信息来采取某「动作」。
3. 我们会得到某种「奖励」。
4. 重复以上过程。
一遍又一遍地重复以上过程：观察状态、采取行动、获得奖励、观察新的状态、采取另一个行动、获得另一个奖励等。RL 问题只是找出如何选择行动的方案以获得尽可能多的奖励。事实证明这是一个非常普遍的框架。我们可以通过这种方式考虑许多问题，解决这些问题也有很多不同的方法。一般来说，解决方案涉及随机游走（wandering around），在不同状态选择各种行为，记住哪些组合能够获得什么奖励，然后尝试利用这些信息在未来做出更好的选择。
RL 如何用于德扑游戏呢？在任何决策点上，玩家知道他的 2 张底牌和他的位置，这就是状态。然后他可以采取行动：要么弃牌，要么 GII。（GII 对于 SB 意味着全押（shove），对于 BB 意味着跟注）。然后得到奖励——这是玩家赢得的钱数，在最后的手牌中我们将使用玩家的总筹码大小。例如，如果初始筹码大小为 S=10，SB 全押 BB 弃牌，则玩家的奖励分别为 11 和 9。
我们会通过模拟手牌组合来找到游戏的策略。我们会同时处理两个玩家的随机手牌，让他们做出关于如何玩的决策，然后观察他们每次结束时最终得到多少钱。我们将使用该信息来学习（估计）Q 函数 Q(S,A)。Q 的参数为状态 S 和动作 A，输出值为在该状态下采取该动作时得到的最终奖励值。一旦我们有 Q（或它的某种估计），策略选择就很容易了：我们可以评估每个策略，看哪一个更好。
所以，我们这里的工作是估计 Q，我们将使用 Q^（发音为「Q hat」）来指代这个估计。初始化时，我们将随机猜测一些 Q^。然后，我们将模拟一些手牌，两名玩家根据 Q^ 做出决定。每次手牌之后，我们将调整估计值 Q^，以反映玩家在特定状态下采取特定动作后获得的实际值。最终，我们应该得到一个很好的 Q^ 估计，这就是确定玩家策略所需的所有内容。
这里需要注意一点——我们要确保在所有状态采取所有动作，每个状态-动作组合至少尝试一次，这样才能很好地估计出最终每个可能的值。所以，我们会让玩家在一小段时间ε内随机地采取行动，使用他们（当前估计的）最佳策略。首先，我们应该积极探索选择的可能性，频繁地随机选择。随着时间的推移，我们将更多地利用我们获得的知识。也就是说，ε将随着时间的推移而缩小。有很多方法可以做到这一点，如：
Q 被称为「动作价值函数（action-value function）」，因为它给出了采取任何特定动作（从任何状态）的值。它在大多数 RL 方法中有重要的作用。Q^ 如何表示？如何评估？是否在每次手牌之后更新？
特征：Q^ 的输入
首先，Q^ 的输入：状态和动作。将这个信息传递给 Q 函数，作为位置（比如，SB 为 1，BB 为 0），手牌编码（0 到 1325），动作（比如，GII 为 1，弃牌为 0）。不过，我们将会看到，如果我们做更多的工作，会得到更好的结果。在这里，我们用 7 个数字的向量描述状态和动作：
由函数 phi 返回的向量φ将是 Q 函数的输入，被称为特征向量，各元素都是特征（φ发音为「fee」）。我们将看到，我们选择的特征可以在结果的质量上产生很大的不同。在选择特征（称为「特征工程」）中，我们利用了有关问题的相关领域知识。它和科学一样艺术化。在这里，我们将判断哪些为相关信息（在这种情况下）的知识用以下几种方式编码。让我们来看看。
为方便起见，第一个元素始终为 1。考虑接下来的四个元素。这些代表玩家的手牌。我们已经从手牌编码转换为 rank1、rank2 和 isSuited。这三个变量技术上给出与手牌编码相同的信息（忽略特定的组合），但是该模型将更好地利用这种格式的信息。除了原始排序，我们还包含了 (|rank1-rank2|)^0.25。我们碰巧知道 connectedness 是德扑的重要属性，正如其名。此外，如果所有特征都量纲一致，该模型的学习效果会更好。在这里，所有的特征大致介于 0 和 1 之间，我们通过将 rank 除以 numRanks 得到。
最后，如果 not isGII（即如果动作是弃牌），我们实际上将这些数字设置为 0。我们知道，当玩家弃牌时，特定的持有手牌对结果没有任何影响（忽略小概率的卡牌移除效果），所以我们在这种情况下删除无关的信息。
现在考虑最后两个元素。第一个直接编码玩家的位置，但第二个同时取决于 isSB 和 isGII。为什么会这样？稍后我们会显示这个「交叉项」的必要性。
关于 Q^ 的线性模型
我们将学习一个线性函数用于估计的 Q^ 函数。这意味着我们将真正学习一个参数向量，通常称为θ，它的长度（7）与特征向量相同。然后，我们将针对特定的φ来估计 Q^ ：
这里，下标 i 指代向量的特定元素，并将参数列表写为 (φ;θ)，其表示 Q^ 的值取决于φ和θ，但是我们可以认为是φ的函数，θ为固定值。代码很简单：
虽然这个函数普遍使用，但是这个算法没有什么特别之处，以使它成为这个问题的最佳选择。这只是其中一种方法：将某些学习参数与某些特征相结合以获得输出，并且完全由我们定义一个θ向量，使它产生我们想要的输出。然而，正确选择θ将为我们很好的估计在有特定的手牌时采取特定行动的价值。
模拟扑克游戏
我们接下来要「玩」手牌了。我们将在接下来的几个部分中进行，不过现在我们先构建三个重要的概念。这些概念与 RL 问题的三个重要组成部分相关：状态、动作和奖励。首先，状态——每次手牌，我们将以随机发牌的方式初始化每个玩家的状态。
第二点，采取动作。每个玩家将使用当前的模型（由 theta 给出）和已知的手牌和身份（为 SB）来选择动作。在以下函数中，我们估计 GII 和弃牌/FOLD（qGII 和 qFOLD）的值。然后选择当下的最优项（1-ε），否则随机选择动作。返回所采取的动作，以及相应的价值估计和特征向量，这两项我们之后会用到。
第三点，一旦我们知道每个玩家当下的手牌和动作，我们就模拟剩下的手牌来得到玩家的奖励。如果任何一个玩家弃牌，我们可以立即返回正确的奖励值。否则，我们参考玩家的状态和奖励期望（equity），在正确的时间段随机选择一个赢家。
在玩家全押的情况下，我们用小技巧规避了模拟。与通过使用 5 张公共牌实际模拟游戏并评估玩家的手牌来查看谁赢不同，我们现在根据预先计算的概率随机选择一个赢家。这在数学上是等价的（琐碎的证明忽略）；这只是一个更方便和更有计算效率的方法。
最重要的是，我们的学习过程没有利用这些 equity 或有关游戏规则的信息。正如我们马上将要看到的那样，即使是完全模拟，学习过程也没有什么不同，甚至 智能体（agent）还会与外部黑盒的扑克游戏系统进行交互从而可能遵循不同规则！那么，学习过程究竟如何进行？
学习：更新 Q^
一次手牌结束之后，我们需要更新 theta。对于每个玩家，我们已知其状态和采取的动作。我们还有动作对应的估计价值以及从游戏中获得的实际奖励。从某种意义上说，实际获得的奖励是「正确解」，如果动作的估计价值与此不同，则我们的模型有误。我们需要更新 theta 以使 Q^(φ;θ) 更接近正确的答案。
令 φ’ 为一个玩家所在的特定状态，R 是她获得的实际奖励。令 L=(R-Q^(φ;θ))^2。L 被称为损失函数。L 越小，R 越接近 Q^(φ;θ)，如果 L 为 0，则 Q^ 恰好等于 R。换句话说，我们想要微调整 θ，使 L 更小。（注意，有许多可能的损失函数，使得随着 Q^ 越来越接近 R，L 越来越小。这里的损失函数只是一个常见的选择）。
所以「更新 Q」是指改变θ使 L 更小。有不止一种方法可以做到这一点，一种简单的方法为随机梯度下降（stochastic gradient descent）。简而言之，其更新 θ 的规则是：
我们需要选择「超参数」α（称为学习率），它能控制每次更新的幅度。如果α太小，学习速度很慢，但是如果它太大，则学习过程可能无法收敛。将 L 代入到这个更新规则，并进行几行微积分计算，我们得到
最后一行提供了更新参数的准则，我们将依此编写代码。注意这里的 θ 和 φ 都是长度为 7 的向量。这里更新参数的准则分别适用于每个元素。
整合
最后，该整合所有内容了。重复以下步骤：
1. 随机发给每个玩家手牌。
2. 令玩家各自选择一个动作。
3. 得到结果。
4. 使用观测到的（状态，动作，结果）元组更新模型。
下面的函数 mc 实现了这种蒙特卡罗算法，并返回学习模型的参数 theta。
特别注意，上节推导出的参数更新规则在代码中得到了实现。
结果
解释模型
本例中，固定 S=10。
我们得到了数字，但是它们有意义吗？实际上有几种方法可以帮助我们判断，并通过它们得到一些模型的解释。
首先，我们考虑某些具体的情况。当 SB 弃牌（FOLD）时，它的估计值是多少？很容易得到，因为在这种情况下 φ 比较简单。实际上，除了第 1 个（固定为 1）和第 6 个（对应于 isSB）之外，所有元素都为 0：phi =
1,0,0,0,0,1,0
。所以，我们的线性模型的 Q^ 仅相当于加总 theta 的第 1 个和第 6 个元素：
现在我们知道，根据游戏的规则，SB 选择弃牌的价值是 9.5。所以，非常酷，模型与真实情况非常接近！这是一个很好的逻辑判断，并用例子说明了如何估计我们模型可能的误差值大小。
另一种情况：BB 弃牌。只有 phi 的第 1 个元素是非零的，我们发现一个估计值
虽然不清楚正确的答案应该是什么，除了知道它肯定应该在 9（如果 SB 总是 GII）和 10.5（如果 SB 总是弃牌）之间。事实上，这个数字更接近 9 而不是 10.5，这与 SB 更倾向于 GII 而不是相一致。
有一个更一般的方法来思考每个 θ 输入。每个元素 θ_i 都会造成 Q^ 的增加，因为对应的特征 φ_i 会增加 1。例如，当有合适的手牌同时执行 GII 策略时，θ 的第 5 个元素会增加 1。因此，有适合手牌的估计奖励值是 0.22571655——一个小的正向奖励。看上去是合理的。
θ 的第 2 个元素（对应于玩家排名较高的手牌）是 6.16764962。这对应于特征：如果 isGII 则为 rank2/numRanks，否则为 0，意思为玩家排名较高手牌时的 GII 策略。这里 rank2 除以 numRanks，所以特征每增加 1 约等于 2 和 ace 之间的差。以一个额外的 6 BB 加上 1 个 ace 而不是 2 来取得胜利似乎是合理的。（但是，为什么你会觉得有第二张更高的手牌显然是负的？）
检查与第 6 个特征相对应的 θ 的元素（如果 isSB 则为 1，否则为 0），如果所有其它特征相等，则在 SB 中的附加值显然为-0.15230302。我们或许可以把这解释为位置上的劣势：由于不得不首先采取行动的小惩罚。
然而，其它一切并不一定相同。如果 SB 执行 GII 策略，则最后一个特征也非零。所以，-0.15230302 为 SB 执行弃牌时的附加值。当执行 GII 时，我们总结最后一个特征的贡献，发现奖励为-0.15230302 + 0.14547532 = -0.0068277。显然，当 SB 采取更激进的策略时，位置劣势就变少了！
我们在这里看到，在本问题范畴内，选择有意义的特征可以帮助我们有效地解释结果。有趣的是，有一个被称为 SAGE 的老规则来玩德扑游戏。这个规则在锦标赛现场容易被记住。原则是为你的手构建「能力指数」，它按照顺子（rank）、同花（suitedness）和对子（pair）进行规则构建，然后用它来决定是否 GII。它们的特征组合与我们的特征组合相比如何？它们的结果怎么样？
最后，为什么我们选择 isSB 和 isGII 来决定最后一个特征，而不仅仅是 isGII？思考如下。（BB，FOLD）的估计值只是 θ 的第 1 个元素，所以这个第 1 个元素需要能够随意变化，以获得正确的（BB，FOLD）值。那么，第 6 个元素是在 SB 中的额外贡献，它需要能够随意变化以获得正确的（SB，FOLD）。
一旦我们从弃牌转换到 GII，元素 2-5 变为非零状态，并根据玩家调整为特定值，但这些决策同样适用于 SB 和 BB。该模型需要为 SB 全押提供一些不同于 BB 全押的决策。
假设我们的最终特征为：如果 isGII 则为 1，否则为 0。这不取决于玩家，所以 SB 和 BB 的估计值之间的唯一差异将在于 isSB 项。这个数字必须考虑在执行弃牌时 SB 和 BB 之间的差异，以及在执行 GII 时 SB 和 BB 之间的差异。模型必须在这两个差异之间挑选一个数字，最终可能会导致一些差的折中。相反，我们需要：如果 isGII 和 isSB 则为 1，否则为 0。这样，该模型可以区分 SB GII 与 BB GII 的增量值。
注意，该模型仍然无法捕获很多细微的细节。例如，由于模型完全内置的函数形式，我们看到的 GII 的估计值的差异在两个特定手牌组合下，如 A2 和 K2，对于 SB 和 BB 是完全相同的。不管θ的值如何，我们的模型都不可能预测。
这样的模型有很高的偏差值（bias）。它是不灵活的，并且有一个强大的内置「观点」来决定结果将是什么样子。这就是为什么特征工程如此重要。如果我们没有尝试为算法提供精心设计的特征，那么它或许就没有能力表征一个很好的解决方案。
可以为模型添加更多的特征，如其它交叉项，以获得偏差较低的模型，但这可能会带来缺点。这会很快失去可解释性，也可能会遇到更多的技术问题，比如过拟合。（当然，在多数使用中这并不是首要问题，准确性比可解释性更重要，而且有办法处理过拟合）。
可视化策略
要找到完整的策略，我们将评估该模型，以了解在每个玩家的 1326 种手牌组合中，GII 或弃牌哪个更好：
看上去，对于 SB，大约 55％的手牌选择全押，而对于 BB，大约 49％的时间选择跟注：
最后，我们可以生成一些 SVG 来在 Jupyter 环境中绘制 GII 范围：
我们怎么选择呢？这里有我们期望的很多定性的特征：大的手牌很好、有对子很好、同花好于不同花、SB 比 BB 打法松等。然而，边界线（borderline）手牌的打法有时候会与在真正的平衡策略中不同。
结语
这篇介绍性的应用 RL 技术的文章给我们提供了一些合理的策略来进行德扑游戏。该学习过程不依赖于任何结构或游戏规则。而是纯粹地通过让智能体自己进行游戏、观察结果，并根据此来做出更好的决定。另一方面，重要特征工程需要一些领域专业知识才能学习一个好的模型。
最后，介绍一些背景。许多合适的问题都可以阐述为 RL 问题，也有许多不同的方法来解决它们。这里的解决方案可能具有以下特征：无模型（model-free）、基于价值的（value-based）、蒙特卡罗（Monte Carlo）、在策略（on policy）、无折现型（undiscounted），并使用线性函数逼近器（linear function approximator）。
